Imaginez un comité de direction qui reçoit chaque mois un tableau de bord de 97 indicateurs. Douze onglets, trois codes couleur, une légende que plus personne ne consulte. Tout le monde hoche la tête en réunion. Personne ne s'en sert pour décider.
J'ai voulu montrer, sur un cas extrême et public, qu'on peut faire l'inverse : prendre 34 892 communes françaises décrites par 97 indicateurs sociaux chacune, et les résumer en un seul graphique. Sans tricher, et sans cacher ce que la compression coûte.
La méthode s'appelle l'analyse en composantes principales, ACP pour les intimes. Le fichier de départ, le « dossier complet » de l'INSEE, aligne environ 1 900 colonnes par commune ; après nettoyage, il en reste 97 réellement comparables. L'ACP prend ce tableau trop large pour être lu et fabrique de nouveaux axes qui concentrent l'information. Vous n'avez plus 97 colonnes à balayer, vous avez 2 dimensions à regarder. Ce n'est pas de la magie. C'est de la géométrie.
La projection, c'est une ombre
Prenez un objet en trois dimensions, une chaise. Éclairez-la : sur le mur, vous obtenez une ombre. L'ombre est plate, elle a perdu une dimension entière, et pourtant vous reconnaissez la chaise. L'ACP fait exactement ça avec les données. Elle projette un objet à 97 dimensions sur un mur qui n'en a que 2.
Toute la subtilité tient dans l'angle de la lampe. Éclairée par-dessus, la chaise donne une tache informe ; de profil, elle redevient une chaise. L'ACP calcule l'angle qui déforme le moins, celui qui préserve le maximum d'écarts entre les communes.
L'analogie a une limite, autant la nommer tout de suite : une ombre perd la profondeur, et la perd sans vous prévenir. L'ACP, elle, chiffre la perte. Ici, 71 % de l'information reste hors du graphique. On y revient plus bas, avec le graphique qui le prouve.
Comment lire ce type de carte
Trois règles, pas une de plus. Deux communes proches sur la carte ont des profils sociaux semblables, même si l'une est en Bretagne et l'autre dans le Var. Une commune loin du centre a un profil marqué, atypique sur au moins un axe. Et le centre, c'est la moyenne : la commune qui ressemble à la France entière.
Une ACP ne vous dit pas quoi penser. Elle vous montre où regarder.
Sur les données françaises, les deux axes retenus se lisent presque naturellement. Le premier oppose la France rurale des propriétaires à la ville dense et à l'habitat social. Le second sépare les communes âgées, où dominent les retraités, des communes portées par de jeunes familles actives.
34 839 communes, un premier tour, une carte
Chaque point ci-dessous est une commune réelle (34 839 des 34 892 ont un résultat de 1ᵉʳ tour rattaché), positionnée par son profil social et colorée par le candidat arrivé en tête au 1ᵉʳ tour de la présidentielle 2022.
- Que regarder : les losanges ◆, qui marquent la commune « moyenne » de chaque électorat. Chaque point est une commune, survolez-le pour afficher son nom.
- Que conclure : les électorats occupent des zones sociales différentes. Le vote suit la géographie sociale.
- Que ne pas conclure : vous ne voyez pas des électeurs individuels. Une commune « Le Pen » est une commune où Le Pen arrive en tête au 1ᵉʳ tour, pas une commune unanime.
Les ordres de grandeur méritent d'être posés : Le Pen arrive en tête dans 19 978 communes, Macron dans 11 738, Mélenchon dans 2 761, un autre candidat dans 362. Ces couleurs sont une coloration factuelle, les résultats officiels du 1ᵉʳ tour, rien d'autre ; plus loin dans la série, je montrerai comment ce même graphique peut servir trois discours politiques opposés.
Combien d'information a-t-on perdue en route ?
Le graphique suivant répond à la question qui fâche : que reste-t-il de 97 indicateurs quand on n'en garde que 2 axes ?
- Que regarder : les deux premières barres, et la courbe qui cumule l'information axe après axe.
- Que conclure : 2 axes concentrent environ 29 % de l'information (18 % pour le premier, 11 % pour le deuxième). Assez pour une carte utile.
- Que ne pas conclure : que le reste est du bruit. Les 71 % restants existent : un point aberrant sur cette carte peut être parfaitement normal sur un axe non affiché.
Pour fixer l'ordre de grandeur, il faut 10 axes pour cumuler 50 % de l'information. La compression est réelle. Elle n'est jamais gratuite.
Les limites, sans détour
Cette carte capture 29 % de l'information, pas la France entière : deux communes superposées ici peuvent différer fortement sur des dimensions non montrées. Elle expose des corrélations, jamais des causes : un profil social ne fait voter personne, il accompagne le vote. Et elle raisonne à l'échelle des communes : on ne sait rien d'un électeur précis, et croire le contraire porte un nom, l'erreur écologique. Enfin, les 2 axes ont été choisis par la variance des données, pas par une théorie politique : ils existeraient à l'identique si aucune élection n'avait eu lieu.
Épisode 2 : quelles variables disent la même chose
97 indicateurs, c'est aussi beaucoup de redites déguisées sous des noms différents. Le prochain épisode ouvre le capot avec le cercle des corrélations : l'outil qui montre quelles variables racontent la même histoire, et lesquelles portent une information vraiment neuve.
Je fais le même travail sur des données d'entreprise : portefeuilles clients, réseaux d'agences, gammes de produits. Si vos tableaux de bord ressemblent à celui du début de cet article, voici comment je travaille.